Roche-grense skjer der tyngdekraften til objektet, som prøver å trekke objektet sammen, blir mindre enn tidevannskraften (prøver å trekke objektet fra hverandre).

Men astronauten er ikke bundet av tyngdekraften , snarere ved den elektromagnetiske interaksjonen mellom hans / hennes atomer. Astronautens egen tyngdekraft er ubetydelig sammenlignet med den elektromagnetiske interaksjonen.

Tidevannskraften som påvirker en astronaut, bør imidlertid kreve litt beregning. Vi kan utlede formelen for gravitasjonsakselerasjonen rundt et punktlignende legeme ($ F = \ frac {GM} {r ^ 2} $), vi får

$$ \ frac {dF} {dr } = \ frac {2GM} {r ^ 3} $$

(Vi kan ignorere tegnet av åpenbare grunner.)

Her er $ G $ gravitasjonskonstanten, $ M $ er kroppens masse, og $ r $ er avstanden.

Ved å erstatte solens verdier får vi $ \ frac {2 \ cdot 6.67 \ cdot 10 ^ {- 11} \ cdot 2 \ cdot 10 ^ {30}} {(7 \ cdot 10 ^ 8) ^ 3} \ ca 7,78 \ cdot 10 ^ {- 7} \ frac {\ mathrm {m / s ^ 2}} {\ mathrm {m }} \ approx \ understreket {\ understreket {8 \ cdot 10 ^ {- 8} \ frac {g} {\ mathrm {m}}}} $.

Mer tydelig hvis vi kretser rundt Sol rett over overflaten, føler en omtrent 2 meter lang astronaut at hodet og foten trekkes fra hverandre med rundt $ 1,6 \ cdot 10 ^ {- 7} g $ vekt. Når det gjelder en $ 70 \: \ mathrm {kg} $ astronaut, er den rundt vekten på $ 0,0112 $ gram på jorden.

Astronauten ville ikke føle det, men ikke veldig følsomme sensorer kunne måler det allerede.

_{Denne beregningen brukte noen ganger $ \ mathrm {g} $ for "gram", som masseenhet, og $ g $ som (ikke-standard) enhet av akselerasjon.}

Roche-grensen er der tidevannskreftene som utøves på et baneobjekt er tilstrekkelig til å overvinne selvgravitasjonen til den gjenstanden.

"Selvgravitasjonen" til en astronaut er liten. Vi kan estimere det som noe som $$ F _ {\ rm grav} \ sim \ frac {Gm ^ 2} {(h / 2) ^ 2}, $$ der $ m $ er massen til astronauten (+ utstyr) og $ h $ er deres størrelse ( høyde). Forutsatt at $ m = 100 $ kg og $ h = 2 $ m, så er tyngdekraften $ 2,7 \ ganger 10 ^ {- 6} $ N. Dette er en kraft som er for liten til å føle.

Tidevannskraften på astronauten en avstand $ R $ fra massen $ M $ er omtrent $$ F _ {\ rm tidal} \ simeq 2 \ frac {GMm} {R ^ 3} h, $$ forutsatt at de peker føttene først mot jorden.

Roche-grensen er der $ F _ {\ rm grav} < F _ {\ rm tidal} $ , så der $$ \ frac {Gm ^ 2} {(h / 2) ^ 2} < 2 \ frac {GMm} {R ^ 3} h $$ $$ R < h \ venstre (\ frac {M} {2m} \ høyre) ^ {1/3} $$ For eksempel hvis $ M = M _ {\ rm Earth} $ span> og for astronauten ovenfor, så $ R < 60.000 $ span> km for tidevannsbrudd. Noe som virker rart, fordi astronauter jobber ganske lykkelig i bane rundt jorden der tidevannskreftene er mye sterkere.

Problemet med denne beregningen er at astronauter ikke holdes sammen av egen tyngdekraft og et tidevannsfelt ved Roche-grensen har en ubetydelig effekt på en liten kropp som faktisk holdes sammen av atomkrefter.

For å oppleve et tidevannsfelt som kan kjennes på astronautvekter, la oss si større enn 10 N (forestill deg å henge en vekt på 1 kg fra ankelen din på jorden), må du komme mye nærmere tyngdekilden .

Forutsatt at vi har en fast masse lik jordens, kan vi regne ut at du trenger å komme innen 500 km fra massesenteret for å kjenne tidevannskraften . For jorden (og også for andre solsystemlegemer du kan gjøre den samme beregningen for) vil dette gi deg godt inne jorden, noe som ikke er mulig, og i alle fall kunne vi ikke anta at $ M $ ble i så fall løst, fordi det er masseinteriøret til $ R $ som teller.

Den eneste måten en astronaut kunne "føle" en tidevannskraft på, var å nærme seg en kompakt stjerne - en nøytronstjerne med høy tetthet, en hvit dverg eller et svart hull. Der kan du generere et veldig sterkt tidevannsfelt, og fordi de er kompakte, kan en astronaut komme nær nok til å føle det.

Når vi utvider Peterhs svar, kan vi prøve å finne ut hvordan det skal være et astronomisk objekt for tidevannskreftene som føles av en astronaut som kretser rundt den.

Jeg har ingen pålitelige data om hvor sterkt behov tidevannskraften som skal føles. Imidlertid, med en stor forenkling, kan vi veldig grovt modellere over- og underkroppen til en astronaut som to masser plassert omtrent 1 meter fra hverandre. For en 70 kg astronaut under en tidevannskraft på $ 0,1 · g $ per meter (der $ g $ er tyngdekraftens akselerasjon), ville forskjellen i trekk mellom de to massene på 35 kg være $ 0,1 · 35 kg = 3,5 kg $ . Disse kreftene ville strekke astronautens midje og ville være tydelig merkbart (kanskje en styrke ti ganger svakere ville være merkbar også, men jeg vil holde meg til $ 0,1m ^ {- 1} · g $ ).

Fra Peterhs formler:

$$ r = \ sqrt [3] {\ frac {2 · G · M} {0,1m ^ {- 1} · g}} $$

For et 1 solmasseobjekt:

$$ r = \ sqrt [3] {\ frac {2 · 6.67 · 10 ^ {- 11} · 2 · 10 ^ {30}} {0.1 · g}} = 6481168 m = 6481 km $$

Så vil en astronaut som kretser rundt en solstørrelse på en avstand som ligner Jordens radius, tydelig føle tidevannskrefter når hodet eller føttene peker mot objektet. Naturligvis må objektet være et svart hull eller en nøytronstjerne for å passe inne i banen.

Med en mer massiv gjenstand kan banen være større, men gitt at massen er inne i en kubisk rot, radius ville vokse veldig sakte.